피보나치 수열과 벤포드 법칙

n 진법에서 피보나치 수열의 벤포드 규칙의 성립 여부를 확인하는 프로그램입니다.

벤포드 규칙이란?

벤포드의 법칙(Benford's law)은 실세계에서 존재하는 많은 수치 데이터의 10진법 값에서 수의 첫째 자리의 확률 분포를 관찰한 결과, 첫째 자리 숫자가 작을 확률이 크다는 법칙이다. 출처 - 위키백과<벤포드의 법칙>

위의 그래프는 10진법에서 피보나치 수열의 10000번째 수까지의 총 10000개의 숫자의 가장 첫자리가 1에서 9까지일 확률을 나타낸 그래프입니다.

그런데 과연 10진법이 아닌 8진법, 16진법, 아니 n 진법에서도 성립할까요?

수학적인 증명은 어려우니 전 컴퓨터로 증명해 보았습니다.

결과

8진법에서의 그래프

20진법에서의 그래프

성립한다는 것을 알 수 있다.

수학적인 것들

벤포드 법칙이 성립하는 경우 n진법에서 d의 확률은 아래의 수식과 같다.

수식

위의 예시에서 8진법에서 1의 확률은

위의 예시에서 20진법의 1의 확률은

잘 일치함을 볼 수 있다.